A Conjectura de Poincaré

Pedro Luiz Queiroz Pergher

Recentemente o norte-americano Landon Clay, um milionário apaixonado pelo universo dos números, ofereceu sete prêmios de 1 milhão de dólares cada para quem resolver aquilo que ele chama de os "sete enigmas do milênio". Esses problemas matemáticos, selecionados por uma comissão de quatro renomados cientistas (um dos quais foi o inglês Andrew Wiles, que em 1995 demonstrou o Último Teorema de Fermat), estão entre os mais conhecidos e intrigantes do mundo da ciência. A premiação do Instituto Clay de Matemática - a fundação de pesquisas mantida pelo ricaço americano - repete o desafio lançado há exatamente 100 anos atrás pelo alemão David Hilbert, um dos mais importantes matemáticos da história. Em agosto de 1900, durante um congresso internacional em Paris, Hilbert submeteu 23 hipóteses à sagacidade de cientistas contemporâneos. Muitas permanecem sem comprovação formal até hoje.

A conjectura de Poincaré é relacionada com o problema da classificação das variedades fechadas n-dimensionais. Uma variedade n-dimensional é um espaço topológico tal que cada um de seus pontos possui ou uma vizinhança homeomorfa ao disco aberto do espaço euclidiano Rn (pontos interiores) ou uma vizinhança homeomorfa ao disco semi-aberto de Rn (pontos de bordo). A variedade é dita ser "fechada" se for compacta e não possuir pontos de bordo. Para visualizarmos como devem ser tais objetos, observamos que o próprio disco n-dimensional fechado é uma variedade compacta, mas não fechada por possuir pontos de bordo, enquanto que o n-disco aberto é uma variedade sem pontos de bordo que não é fechada, por não ser compacta. A esfera e o toro bidimensional, que são variedades fechadas 2-dimensionais, ilustram bem o aspecto de tais objetos.

Resolver o problema da classificação das variedades fechadas n-dimensionais seria obter um catálogo completo de tais objetos, a menos de homeomorfismo (estamos sempre supondo variedades conexas). Para n = 1 esse problema está resolvido, pois sabe-se que a única variedade fechada 1-dimensional é a circunferência S1 (uma demonstração deste fato pode ser encontrada em [2]). As variedades fechadas 2-dimensionais também já estão classificadas, e a quantidade das mesmas é infinita e enumerável (para maiores detalhes a respeito da classificação das variedades fechadas bidimensionais vide por exemplo [6]). Por outro lado, através de um argumento baseado na impossibilidade de se resolver o famoso "problema das palavras", sabe-se que é impossível classificar as variedades fechadas 4-dimensionais (vide [3], [4] e [5]). Desta forma, a classificação das variedades fechadas tridimensionais persiste ainda como um grande enigma, pois além de não ser conhecida não se sabe ao menos se a mesma é possível.

A classificação das variedades bidimensionais atrás mencionada tem conexão íntima com um invariante algébrico muito importante, chamado "grupo fundamental". O grupo fundamental de um espaço topológico X é o grupo constituído pelas classes de homotopia de laços em X com ponto base fixado (sendo que dentro de uma classe de homotopia um laço pode ser continuamente deformado em outro laço de tal sorte que durante a deformação o ponto base se mantém fixo), e a operação entre dois tais objetos é dada pela justaposição de laços. A conexão acima referida é o fato de que duas variedades fechadas bidimensionais são homeomorfas se, e somente se, seus grupos fundamentais forem isomorfos.

Desta forma, a classe de homeomorfismo de uma variedade bidimensional fechada é completamente determinada pela classe de isomorfismo de seu grupo fundamental. A esfera bidimensional S2 é uma das variedades fechadas bidimensionais, e como todo laço em S2 pode se contrair homotopicamente no ponto base, com este último permanecendo fixado durante o processo de deformação, existe uma única classe de homotopia de laços com ponto base em S2, o que significa dizer que o grupo fundamental de S2 é o grupo nulo; em matemática, tal fenômeno é tecnicamente expresso pela frase "a esfera S2 é simplesmente conexa".

Em outras palavras, a única variedade fechada bidimensional simplesmente conexa é, a menos de homeomorfismo, a esfera S2. A conjectura de Poincaré é exatamente o análogo deste fenômeno para n = 3: a esfera tridimensional S3 é uma variedade fechada simplesmente conexa, e a questão por trás da famosa conjectura é saber se S3 é ou não, a menos de homeomorfismo, a única variedade fechada tridimensional com tal propriedade. Traduzindo de outra forma, acreditar na validade da conjectura de Poincaré é ter a esperança de que, à semelhança do que ocorre no mundo bidimensional com todas as variedades fechadas, o grupo fundamental determine completamente a classe de homeomorfismo no mundo tridimensional pelo menos no caso particular da esfera S3.

Olhando por esse prisma, outras conjecturas na mesma direção poderiam ser formuladas; por exemplo, o produto cartesiano S2×S1 é uma variedade fechada tridimensional cujo grupo fundamental é o grupo dos inteiros Z, e na mesma linha questiona-se se S2×S1 é ou não a única variedade fechada tridimensional com grupo fundamental isomorfo a Z.

Os invariantes algébricos conhecidos (como por exemplo homologia e cohomologia) não são suficientemente poderosos para dar qualquer informação sobre a conjectura de Poincaré, uma vez que, para variedades fechadas tridimensionais, o grupo fundamental determina completamente tais invariantes.

Desta forma, na direção de se tentar provar que a conjectura é falsa, uma alternativa seria criar um novo invariante algébrico que primeiramente e para as variedades fechadas tridimensionais não fosse determinado pelo grupo fundamental, e a partir daí localizar dentro da classe especial de homeomorfismo das variedades fechadas tridimensionais que contêm as variedades simplesmente conexas dois elementos tais que o invariante novo acima referido associado aos mesmos produzisse dois objetos algébricos não isomorfos; mas isto constitui-se em tarefa extremamente difícil e a qual certamente já foi fartamente tentada, razão pela qual ela vale um milhão de dólares.

Cumpre observar que, para n_> 4, diferentemente do que ocorre para n = 3 e n = 2, o grupo fundamental não determina a homologia e a cohomologia da variedade. Em outras palavras, para cada n 4 é possível encontrar variedades fechadas n-dimensionais simplesmente conexas mas com homologias (ou cohomologias) não isomorfas, o que significa dizer que as variedades em questão não são homeomorfas; desta forma, a conjectura de Poincaré na forma em que é formulada para n = 3 não é verdadeira para n 4.

Uma formulação adequada da conjectura de Poincaré para n 4 deveria contemplar, portanto, a imposição de que as homologias e cohomologias da variedade em questão fossem iguais às da esfera, fato esse que é automático para n = 3 ou 2. Por outro lado, em função das especificidades da homologia da esfera, é verdadeiro o fato de que se uma variedade fechada n-dimensional possuir homologia idêntica à da esfera, então ela possui também cohomologia idêntica à da esfera. Desta forma, a formulação adequada para a conjectura de Poincaré para n 4 é a seguinte:

"Se uma variedade fechada n-dimensional com n 4 for simplesmente conexa e possuir os mesmos grupos de Z-homologia da esfera Sn, então ela é homeomorfa a Sn."

A conjectura acima foi provada ser verdadeira por S. Smale para n 5 e por M. Freedman para n = 4, e tais matemáticos foram premiados com a Medalha Fields pela obtenção de tais resultados. Para maiores detalhes vide [7] e [1].

Referências.

1] Freedman, M., The topology of four-dimensional manifolds. Journal of Differential Geometry, vol 17, 1982, pg 357-454.

[2] Lima, E. L., Classificação de Variedades Uni-dimensionais; uma demonstração educada. Matemática Universitária, número 3, junho de 1986, pg 29-34.

[3] Markov, A., Insolubility of the problem of homeomorphy. Proc. Intern. Congr. Math., 1958, pg 300-306.

[4] Markov, A., The insolubility of the problem of homeomorphy. Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol 121, 1958, pg 218-220.

[5] Markov, A., Unsolvability of certain problems in topology. Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol 123, 1958, pg 978-980.

[6] Massey, W. S., Algebraic Topology: An Introduction. New York, Harcourt, 1967.

[7] Smale, S., Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Annals of Mathematics, vol 74, 1961, pg 391-406.

Pedro Luiz Queiroz Pergher é professor do DM-UFSCar.